HDU - 1028 Ignatius and the Princess III 生成函数+dp+完全背包

题目链接

题意:

基本整数划分问题

思路:

   第一次接触生成函数问题,这个题目就是一个基础的生成函数问题.

   我们构造生成函数为 （1+x+x^2+x^3....)(1+x^2+x^4+....).....(1+x^n)    用x来表示数,指数表示数的大小

   解得x^n的系数即为所求.

#include<bits/stdc++.h>
#define Ri(a) scanf("%d", &a)
#define Rl(a) scanf("%lld", &a)
#define Rf(a) scanf("%lf", &a)
#define Rs(a) scanf("%s", a)
#define Pi(a) printf("%d\n", (a))
#define Pf(a) printf("%lf\n", (a))
#define Pl(a) printf("%lld\n", (a))
#define Ps(a) printf("%s\n", (a))
#define W(a) while(a--)
#define CLR(a, b) memset(a, (b), sizeof(a))
#define MOD 1000000007
#define inf 0x3f3f3f3f
#define exp 0.00000001
#define  pii  pair<int, int>
#define  mp   make_pair
#define  pb   push_back
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=1e5+10;
int ans1[200];
int ans2[200];
int n;
int main()
{
	while(~Ri(n))
	{
		for(int i=0;i<=n;i++)
		{
			ans1[i]=1;
			ans2[i]=0;
		}
		for(int i=2;i<=n;i++)
		{
			for(int j=0;j<=n;j++)
			{
				for(int k=0;k+j<=n;k+=i)
				{
					ans2[k+j]+=ans1[j];
					
				}
			}
			for(int j=0;j<=n;j++)
			{
				ans1[j]=ans2[j];
				ans2[j]=0;
			}
		}
		Pi(ans1[n]);
	}
 return 0;
}

   

这个题目也可以用dp来做.

定义dp[i][j]表示对于i,用不超过j的数来划分,一共有几种划分方式.

那么当i==j  dp[i][j]=dp[i][j-1]+1  这个+1 其实就是i本身对自己的划分,

i<j 这个情况下是不可能的,dp[i][j]=dp[i][i]

i>j 这个情况下 dp[i][j]=dp[i][j-1]+dp[i-j][j]   (这时候就有两种选择,用j来划分和不用j来划分,

dp[i][j-1]表示 i 用不超过j-1的划分,即不用j来划分.dp[i-j][j] 表示用j来划分,当用j来划分时,j是确定的,剩下的就是i-j,这些用j来划分的种类数)

#include<bits/stdc++.h>
#define Ri(a) scanf("%d", &a)
#define Rl(a) scanf("%lld", &a)
#define Rf(a) scanf("%lf", &a)
#define Rs(a) scanf("%s", a)
#define Pi(a) printf("%d\n", (a))
#define Pf(a) printf("%lf\n", (a))
#define Pl(a) printf("%lld\n", (a))
#define Ps(a) printf("%s\n", (a))
#define W(a) while(a--)
#define CLR(a, b) memset(a, (b), sizeof(a))
#define MOD 1000000007
#define inf 0x3f3f3f3f
#define exp 0.00000001
#define  pii  pair<int, int>
#define  mp   make_pair
#define  pb   push_back
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=1e5+10;
ll dp[200][200];
void init()
{
	for(int i=1;i<200;i++)
	dp[i][1]=dp[1][i]=dp[0][i]=1;
	for(int i=2;i<200;i++)
	{
		for(int j=1;j<200;j++)
		{
			if(i<j)
			dp[i][j]=dp[i][i];
			if(i==j)
			dp[i][j]=dp[i][j-1]+1;
			if(i>j)
			dp[i][j]=dp[i][j-1]+dp[i-j][j];
		}
	}
	return ;
}
int main()
{
	init();
	int n;
	while(~Ri(n))
	{
		Pl(dp[n][n]);
	}
 return 0;
}

这个题还可以用完全背包水过去,将1---n的所有数看成物品,然后跑一次背包.最后求满包dp[n],有几种就可以了.

#include<bits/stdc++.h>
#define Ri(a) scanf("%d", &a)
#define Rl(a) scanf("%lld", &a)
#define Rf(a) scanf("%lf", &a)
#define Rs(a) scanf("%s", a)
#define Pi(a) printf("%d\n", (a))
#define Pf(a) printf("%lf\n", (a))
#define Pl(a) printf("%lld\n", (a))
#define Ps(a) printf("%s\n", (a))
#define W(a) while(a--)
#define CLR(a, b) memset(a, (b), sizeof(a))
#define MOD 1000000007
#define inf 0x3f3f3f3f
#define exp 0.00000001
#define  pii  pair<int, int>
#define  mp   make_pair
#define  pb   push_back
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=1e5+10;
ll dp[200];
int n;
int main()
{
	while(~Ri(n))
	{
		CLR(dp,0);
		dp[0]=1;
		for(int i=1;i<=n;i++)
		{
			for(int j=i;j<=n;j++)
			dp[j]+=dp[j-i];//i对j有贡献.
		}
		Pi(dp[n]);
	}
 return 0;
}