Codeforces 11D A Simple Task 统计简单无向图中环的个数

题目表述

Given a simple graph, output the number of simple cycles in it. A simple cycle is a cycle with no repeated vertices or edges.

Input
The first line of input contains two integers n and m (1 ≤ n ≤ 19, 0 ≤ m) – respectively the number of vertices and edges of the graph. Each of the subsequent m lines contains two integers a and b, (1 ≤ a, b ≤ n, a ≠ b) indicating that vertices a and b are connected by an undirected edge. There is no more than one edge connecting any pair of vertices.

Output
Output the number of cycles in the given graph.

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构思

由于n的数字很小，用比较tricky的思维来看，应该找不到一个多项式算法，因此我们可以设计一个阶层或指数级的算法。有兴趣的同学可以证明该问题是个NP问题。

一个环是由若干个节点以及节点的顺序决定的。若用最暴力的方法统计n个节点的无向图中环的个数，则根据圆排列公式需要枚举$O(\sum_{i=3}^{n}(\frac{i!}{2i}))$个环，每个环用O(n)的时间复杂度检查每个环是否真的存在，因此，总的时间复杂度则为O(n!)。由于该问题的n最大值是19，而19!是一个庞大的数字，所以阶层复杂度的算法是不能够被接受的。

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分析重复计算之处

如图所示的情况，节点s到节点j有一条边，节点i到节点j有一条边。

假设我们已经计算出节点s到节点i有3条简单路径。

接下来，我们要计算节点s到节点j的简单环有几条。根据前面阶层级的枚举算法，我们还要重新计算出节点s到节点i的3条简单路径，然后加上节点i到节点j的1条边，再加上节点s到节点j的1条边，构成3个简单环。

实际上，我们并不关心节点s到节点i的简单路径是怎样的，我们只关心节点s到节点i的简单路径的条数，就可以计算出节点s到节点j的简单环的个数。

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算法设计

为了消除重复计算的部分，就很容易想到动态规划了。我们设计一个状态{[s][SET][i]}来记录起点s到终点i的简单路径的条数，其中SET表示经过的节点的集合。但由于圆排列的性质，这样的状态是有重复的。我们通过指定起点为SET中的最小序号点来消除圆排列带来的重复，状态变为{[SET][i]}。还要注意，即使这样定义状态，计算简单环个数的时候仍会将2个节点一条单边的情况当成环，也会将长度大于2的环正向计算一遍，反向计算一遍。所以我们还要进行后处理。

前向的状态转移方程可以写作：
dp[SET][j]=