二项分布与多项分布

1.  二项分布（Binomial distribution）

伯努利（Bernoulli）分布，又称两点分布。设实验只有两个可能的结果：成功（记为1）与失败（记为0），则称此实验为伯努利实验。如果一次伯努利实验成功的概率为 p，则其失败的概率为 1-p，其PMF为

或者说一次伯努利实验的成功概率就服从一个参数为 p 的伯努利分布。伯努利分布的PMF还可以写成

考察由 n 次独立试验组成的随机现象，它满足以下条件：重复 n 次随机试验，且这 n 次试验相互独立；每次试验中只有两种可能的结果，而且这两种结果发生与否互相对立，即每次试验成功的概率为 p，失败的概率为 1-p。事件发生与否的概率在每一次独立试验中都保持不变。显然这一系列试验构成了一个 n 重伯努利实验。重复进行 n 次独立的伯努利试验，试验结果所满足的分布就称为是二项分布（Binomial Distribution）。当试验次数为 1 时，二项分布就是伯努利分布。
设 X 表示 n 次独立重复试验中成功出现的次数，显然 X 是可以取 0, 1, ..., n 等 n+1 个值的离散随机变量，则当 X = k时，它的PMF表示为

1.  多项分布（Multinomial distribution）

二项分布的典型例子是扔硬币，硬币正面朝上概率为 p，重复扔 n 次硬币， k 次为正面的概率即为一个二项分布概率。把二项分布公式推广至多种状态，就得到了多项分布。一个典型的例子就是投掷 n 次骰子，然后出现1点的次数为y1，出现2点的y2，... ，出现6点的y6，那么试验结果所满足的分布就是多项分布，或称多项式分布。

多项分布的PMF为

其中，

(全文完)